Analysis Beispiele

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (w)$ und $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (w)$ und $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $w$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $w^{3}$ und $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $w^{3}$ und $w$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $w$ aus $w^{3}$ heraus.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $w$ mit $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $w$ aus $w^{1}$ heraus.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $w^{2}$ durch $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $w^{2}$ nach $w$ gleich $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ bei $5$ und $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{1}{3} w^{3}$ bei $5$ und $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.2

Bringe $125$ auf die linke Seite von $\ln (5)$ .

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $\ln (1)$ mit $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.5

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Schritt 6.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 6.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

Schritt 6.3.10

Subtrahiere $1$ von $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $\frac{124}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

Schritt 6.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Schritt 7.3

Addiere $125 \ln (5)$ und $0$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Dezimalform:

$53.28213524 \dots$