Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über natürlicher Logarithmus von 4x+1 nach x
Schritt 1
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 2
Vereinfache.
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Schritt 2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5
Dividiere durch .
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Schritt 5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
++
Schritt 5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
++
Schritt 5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
++
++
Schritt 5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
++
--
Schritt 5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
++
--
-
Schritt 5.6
Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.
Schritt 6
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 7
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 8
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 9
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 10
Kombiniere und .
Schritt 11
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 11.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 11.1.1
Differenziere .
Schritt 11.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 11.1.3
Berechne .
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Schritt 11.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 11.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 11.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
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Schritt 11.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 11.1.4.2
Addiere und .
Schritt 11.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 12
Vereinfache.
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Schritt 12.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 12.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 13
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 14
Vereinfache.
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Schritt 14.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 14.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 15
Das Integral von nach ist .
Schritt 16
Vereinfache.
Schritt 17
Ersetze alle durch .
Schritt 18
Vereinfache.
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Schritt 18.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 18.1.1
Kombiniere und .
Schritt 18.1.2
Kombiniere und .
Schritt 18.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 18.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
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Schritt 18.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 18.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 18.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 18.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 18.5.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 18.5.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 18.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 19
Stelle die Terme um.