Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ und $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.10

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.11

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 5.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 5.2.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Schritt 5.2.2.13

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $0$ .

$1 - (0 + 0)$

Schritt 5.2.2.15

Addiere $0$ und $0$ .

$1 - 0$

Schritt 5.2.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.2.2.17

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6