Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = {\sqrt{3}}^{2} + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Schritt 2.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

Schritt 2.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 3^{\frac{2}{2}} + 1$

Schritt 2.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 3^{1} + 1$

Schritt 2.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 3 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ und $1$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$2 \int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.4

Berechne den Exponenten.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$2 (4 - 2 \cdot 1)$

Schritt 7.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 (4 - 2)$

Schritt 7.2.8

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 8