Analysis Beispiele

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

Schritt 1

Sei $u = y + 9$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = y + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Schritt 1.1.4

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 9$ ein.

$u_{lower} = 0 + 9$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $9$ .

$u_{lower} = 9$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 9$ ein.

$u_{upper} = 7 + 9$

Schritt 1.5

Addiere $7$ und $9$ .

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $16$ und $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 4.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Schritt 4.2.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

Schritt 4.2.11

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

Schritt 4.2.12

Kombiniere $- 27$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

Schritt 4.2.13

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

Schritt 4.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $3$ .

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Schritt 4.2.14.1

Faktorisiere $3$ aus $- 54$ heraus.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

Schritt 4.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

Schritt 4.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

Schritt 4.2.14.2.4

Dividiere $- 18$ durch $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

Schritt 4.2.15

Um $- 18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.2.16

Kombiniere $- 18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.2.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.18.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

Schritt 4.2.18.2

Subtrahiere $54$ von $128$ .

$\frac{74}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{74}{3}$

Dezimalform:

$24.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$24 \frac{2}{3}$

Schritt 6