Analysis Beispiele

$\int_{1}^{8} \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{8} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{8} x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{8} x^{- 3} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{8}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ bei $8$ und $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 8^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{64}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{64 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $64$ mit $2$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Schritt 3.2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.7

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{64}$

Schritt 3.2.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $128$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{2 \cdot 64}$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{128}$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 64}{128}$

Schritt 3.2.10

Addiere $- 1$ und $64$ .

$\frac{63}{128}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{63}{128}$

Dezimalform:

$0.4921875$

Schritt 5