Analysis Beispiele

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ heraus.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 16

Kombiniere $4$ und $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.3

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{2} + 4$ heraus.

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 1)$ als $- 1 (3 x^{2} - 1)$ um.

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 17.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$