Analysis Beispiele

$g (x) = 9 - x^{2}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 9 - {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = 9 - ((x + h) (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 9 - (x (x + h) + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 9 - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 9 - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 9 - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Schritt 2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (x + h) = 9 - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $9 - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$9 - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bewege $9$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 9$

Schritt 2.2.2

Bewege $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 9$

Schritt 2.2.3

Stelle $- 2 h x$ und $- h^{2}$ um.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9$

$f (x) = 9 - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9$

$f (x) = 9 - x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - (9 - x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 1 \cdot 9 + x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 9 + x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere $- - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 9 + 1 x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 9 + x^{2}}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 0 + 9 - 9}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $- h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 9 - 9}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $- h^{2} - 2 h x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.8

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2} - 2 h x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $h$ aus $- h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.8.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x)}{h}$

Schritt 4.1.8.3

Faktorisiere $h$ aus $h (- h) + h (- 2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $- h - 2 x$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x$

Schritt 4.2.2

Stelle $- h$ und $- 2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$- 2 x + 0$

Schritt 7.2

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$- 2 x$

Schritt 8