Analysis Beispiele

$x^{2}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h)$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h)$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h)$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2}$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Schritt 2.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2}$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2}$

Schritt 2.2.2

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.2

Addiere $h^{2} + 2 h x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x$ heraus.

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Schritt 4.1.3.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $h + 2 x$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Schritt 4.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 x + 0$

Schritt 7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 8