Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte f(x)=(x^2-4)^(2/3)
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Kombiniere und .
Schritt 1.1.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.1.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.5.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.1.6
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.6.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.1.6.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.6.3
Bringe in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 1.1.7
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.10
Kombiniere Brüche.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.10.1
Addiere und .
Schritt 1.1.10.2
Kombiniere und .
Schritt 1.1.10.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.10.4
Kombiniere und .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.
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Schritt 3.1.1
Wende die Regel an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.
Schritt 3.1.2
Alles, was auf angehoben wird, ist die Basis selbst.
Schritt 3.2
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 3.3
Löse nach auf.
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Schritt 3.3.1
Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.
Schritt 3.3.2
Vereinfache jede Seite der Gleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.2.1.3
Multipliziere die Exponenten in .
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Schritt 3.3.2.2.1.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.2.2.1.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.2.1.4
Vereinfache.
Schritt 3.3.2.2.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.3.2.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.3.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.3.3
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.3.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.3.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.3.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.3.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3.3.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 3.3.3.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 3.3.3.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 3.3.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 3.3.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 3.3.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3.4
Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.2.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 4.2.2.1.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.2.1.3
Schreibe als um.
Schritt 4.3.2.1.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 4.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.4
Liste all Punkte auf.
Schritt 5