Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 6 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $4 x^{3} - 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 x^{2} (2 x) - 6 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (- 3)$ heraus.

$2 x^{2} (2 x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x^{2} (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{4} - 2 x^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 2 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{3}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

${(\frac{3}{2})}^{4} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{3^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{81}{2^{4}} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{81}{16} - 2 {(\frac{3}{2})}^{3}$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{81}{16} - 2 \frac{3^{3}}{2^{3}}$

Schritt 4.2.2.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 \frac{27}{2^{3}}$

Schritt 4.2.2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{81}{16} - 2 (\frac{27}{8})$

Schritt 4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{81}{16} + 2 (- 1) \frac{27}{8}$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{16} + 2 \cdot - 1 \frac{27}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{81}{16} - 1 (\frac{27}{4})$

Schritt 4.2.2.1.8

Schreibe $- 1 (\frac{27}{4})$ als $- (\frac{27}{4})$ um.

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Um $- \frac{27}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{27}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{81 - 27 \cdot 4}{16}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$\frac{81 - 108}{16}$

Schritt 4.2.2.5.2

Subtrahiere $108$ von $81$ .

$\frac{- 27}{16}$

Schritt 4.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{16}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (\frac{3}{2}, - \frac{27}{16})$

Schritt 5