Analysis Beispiele

$\int_{4}^{5} \frac{x^{3} - 3 x^{2} - 9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Schritt 1

Dividiere $x^{3} - 3 x^{2} - 9$ durch $x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{3}$ .

									$1$
	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2} + 0 + 0$

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

								$1$
$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$
							-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$0$	-	$0$
													-	$9$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int_{4}^{5} 1 - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{4}^{5} d x + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{9}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - (9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{3} - 3 x^{2}} d x$

Schritt 7

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 7.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} x - 3 x^{2}}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 3}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{1}{x^{2} (x - 3)}$

Schritt 7.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $C$ .

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x^{2} (x - 3)$ .

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x^{2} (x - 3))}{x^{2} (x - 3)} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 7.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x - 3)}{x - 3} = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x^{2} (x - 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.1.2

Dividiere $A (x - 3)$ durch $1$ .

$1 = A (x - 3) + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot - 3 + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $A$ .

$1 = A x - 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x - 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 7.1.6.4.1

Faktorisiere $x$ aus $B (x^{2} (x - 3))$ heraus.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.6.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - 3 A + \frac{x (B (x (x - 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$1 = A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.4.2.5

Dividiere $B (x (x - 3))$ durch $1$ .

$1 = A x - 3 A + B (x (x - 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.6

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot - 3) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.7

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$1 = A x - 3 A + B (x^{2} - 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} + B (- 3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 7.1.6.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + \frac{C (x^{2} (x - 3))}{x - 3}$

Schritt 7.1.6.10.2

Dividiere $(C) (x^{2})$ durch $1$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + (C) (x^{2})$

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 B x + C x^{2}$

Schritt 7.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1.7.1

Bewege $B$ .

$1 = A x - 3 A + B x^{2} - 3 x B + C x^{2}$

Schritt 7.1.7.2

Bewege $- 3 A$ .

$1 = A x + B x^{2} - 3 x B + C x^{2} - 3 A$

Schritt 7.1.7.3

Bewege $- 3 x B$ .

$1 = A x + B x^{2} + C x^{2} - 3 x B - 3 A$

Schritt 7.1.7.4

Bewege $A x$ .

$1 = B x^{2} + C x^{2} + A x - 3 x B - 3 A$

Schritt 7.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 7.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = B + C$

Schritt 7.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A - 3 B$

Schritt 7.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = - 3 A$

Schritt 7.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$1 = - 3 A$

Schritt 7.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 7.3.1

Löse in $1 = - 3 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 7.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 A = 1$ um.

$- 3 A = 1$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Schritt 7.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Schritt 7.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Schritt 7.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Schritt 7.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = A - 3 B$

Schritt 7.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- \frac{1}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A - 3 B$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$0 = (- \frac{1}{3}) - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$0 = - \frac{1}{3} - 3 B$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3

Löse in $0 = - \frac{1}{3} - 3 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{3} - 3 B = 0$ um.

$- \frac{1}{3} - 3 B = 0$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.2

Addiere $\frac{1}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 B = \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = \frac{1}{3}$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 B = \frac{1}{3}$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = \frac{\frac{1}{3}}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$B = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{3})$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3.3.3

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Schritt 7.3.3.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$B = - \frac{1}{3 \cdot 3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.3.3.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = B + C$

Schritt 7.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- \frac{1}{9}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $0 = B + C$ durch $- \frac{1}{9}$ .

$0 = (- \frac{1}{9}) + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.4.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$0 = - \frac{1}{9} + C$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.5

Löse in $0 = - \frac{1}{9} + C$ nach $C$ auf.

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Schritt 7.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{9} + C = 0$ um.

$- \frac{1}{9} + C = 0$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.5.2

Addiere $\frac{1}{9}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{9}$

$B = - \frac{1}{9}$

$A = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.6

Löse das Gleichungssystem.

$C = \frac{1}{9} B = - \frac{1}{9} A = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.3.7

Liste alle Lösungen auf.

$C = \frac{1}{9}, B = - \frac{1}{9}, A = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x - 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$- \frac{\frac{1}{3}}{x^{2}} - \frac{\frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5

Vereinfache.

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Schritt 7.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 3} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- \frac{1}{9}}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{9}$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{x \cdot 9} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{\frac{1}{9}}{x - 3}$

Schritt 7.5.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Schritt 7.5.8

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{x - 3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 \int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{1}{9 x} + \frac{1}{9 (x - 3)} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x]_{4}^{5} - 9 (\int_{4}^{5} - \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \int_{4}^{5} \frac{1}{3 x^{2}} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- (\frac{1}{3} \int_{4}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x) + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 11

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 11.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 11.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} \int_{4}^{5} x^{- 2} d x + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{1}{3} - x^{- 1}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 13

Kombiniere $- x^{- 1}]_{4}^{5}$ und $\frac{1}{3}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} + \int_{4}^{5} - \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \int_{4}^{5} \frac{1}{9 x} d x + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 15

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - (\frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x} d x) + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 16

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{1}{9} \ln (| x |)]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 17

Kombiniere $\ln (| x |)]_{4}^{5}$ und $\frac{1}{9}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \int_{4}^{5} \frac{1}{9 (x - 3)} d x)$

Schritt 18

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{4}^{5} \frac{1}{x - 3} d x)$

Schritt 19

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 19.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 19.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 19.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 19.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 19.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{lower} = 4 - 3$

Schritt 19.3

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 19.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{upper} = 5 - 3$

Schritt 19.5

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 19.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 19.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Schritt 20

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{1}{9} \ln (| u |)]_{1}^{2})$

Schritt 21

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\ln (| u |)]_{1}^{2}$ .

$x]_{4}^{5} - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Schritt 22

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 22.1

Berechne $x$ bei $5$ und $4$ .

$(5) - 4 - 9 (- \frac{- x^{- 1}]_{4}^{5}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Schritt 22.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $5$ und $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| x |)]_{4}^{5}}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Schritt 22.3

Berechne $\ln (| x |)$ bei $5$ und $4$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{\ln (| u |)]_{1}^{2}}{9})$

Schritt 22.4

Berechne $\ln (| u |)$ bei $2$ und $1$ .

$5 - 4 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5

Vereinfache.

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Schritt 22.5.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- 5^{- 1} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + 4^{- 1}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.4

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.5

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 22.5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$1 - 9 (- \frac{- \frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 9 (- \frac{\frac{- 4 + 5}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.8

Addiere $- 4$ und $5$ .

$1 - 9 (- \frac{\frac{1}{20}}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.9

Schreibe $\frac{\frac{1}{20}}{3}$ als ein Produkt um.

$1 - 9 (- (\frac{1}{20} \cdot \frac{1}{3}) - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.10

Mutltipliziere $\frac{1}{20}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{20 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.11

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.12

Um $- \frac{1}{60}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.13

Um $- \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{1}{60} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $180$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 22.5.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{60}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{60 \cdot 3} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.14.2

Mutltipliziere $60$ mit $3$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9} \cdot \frac{20}{20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.14.3

Mutltipliziere $\frac{\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)}{9}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.14.4

Mutltipliziere $9$ mit $20$ .

$1 - 9 (- \frac{3}{180} - \frac{(\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 9 (\frac{- 3 - (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) \cdot 20}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.16

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)}{9})$

Schritt 22.5.17

Um $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9} \cdot \frac{20}{20})$

Schritt 22.5.18

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $180$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 22.5.18.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)}{9}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{9 \cdot 20})$

Schritt 22.5.18.2

Mutltipliziere $9$ mit $20$ .

$1 - 9 (\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |))}{180} + \frac{(\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180})$

Schritt 22.5.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 20}{180}$

Schritt 22.5.20

Bringe $20$ auf die linke Seite von $\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$ .

$1 - 9 \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 \cdot (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$

Schritt 22.5.21

Kombiniere $- 9$ und $\frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{180}$ .

$1 + \frac{- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{180}$

Schritt 22.5.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 9$ und $180$ .

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Schritt 22.5.22.1

Faktorisiere $9$ aus $- 9 (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$ heraus.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{180}$

Schritt 22.5.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 22.5.22.2.1

Faktorisiere $9$ aus $180$ heraus.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 (20)}$

Schritt 22.5.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{9 (- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))))}{9 \cdot 20}$

Schritt 22.5.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- (- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))}{20}$

Schritt 22.5.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{- 3 - 20 (\ln (| 5 |) - \ln (| 4 |)) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{20}$

Schritt 23.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Schritt 23.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{20} - \frac{- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{20}$

Schritt 23.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{| 5 |}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $5$ ist $5$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{| 4 |}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Schritt 24.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))}{20}$

Schritt 24.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{| 1 |}))}{20}$

Schritt 24.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (\frac{2}{1}))}{20}$

Schritt 24.5

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{20 - (- 3 - 20 \ln (\frac{5}{4}) + 20 \ln (2))}{20}$

Schritt 24.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{20 - - 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Schritt 24.7

Vereinfache.

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Schritt 24.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{20 + 3 - (- 20 \ln (\frac{5}{4})) - (20 \ln (2))}{20}$

Schritt 24.7.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - (20 \ln (2))}{20}$

Schritt 24.7.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$\frac{20 + 3 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Schritt 24.8

Addiere $20$ und $3$ .

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Schritt 25

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{23 + 20 \ln (\frac{5}{4}) - 20 \ln (2)}{20}$

Dezimalform:

$0.67999637 \dots$

Schritt 26