Analysis Beispiele

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 4 x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 4 x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 4 x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4^{2} - 4 lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4^{2} - 4 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 4 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 4}$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $12$ von $16$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.6.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 4 x}{x^{2} - 3 x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}$

Schritt 1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.7.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3 + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $2 x - 3$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 4}{2 x - 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 x - 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 2 x - 3}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 3}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 3}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 - 4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{4}{2 \cdot 4 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4}{8 - 1 \cdot 3}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4}{8 - 3}$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$\frac{4}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{5}$

Dezimalform:

$0.8$