Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 1.2
Differenziere.
Schritt 1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.4
Potenziere mit .
Schritt 1.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.6
Addiere und .
Schritt 1.7
Subtrahiere von .
Schritt 2
Schritt 2.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.2
Differenziere.
Schritt 2.2.1
Multipliziere die Exponenten in .
Schritt 2.2.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.2.7
Addiere und .
Schritt 2.3
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Schritt 2.3.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.4
Differenziere.
Schritt 2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.4.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.4.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.4.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.4.5
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 2.4.5.1
Addiere und .
Schritt 2.4.5.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.4.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5
Vereinfache.
Schritt 2.5.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 2.5.3.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.5.3.1.1
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.5.3.1.2
Schreibe als um.
Schritt 2.5.3.1.3
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 2.5.3.1.3.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.3.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.3.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.4
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 2.5.3.1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.5.3.1.4.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.5.3.1.4.1.1.1
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.4.1.1.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.4.1.2
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.5.3.1.4.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.4.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.6
Vereinfache.
Schritt 2.5.3.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.7
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.8
Vereinfache.
Schritt 2.5.3.1.8.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.5.3.1.8.1.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.8.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.8.1.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.8.1.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.8.1.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.8.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.5.3.1.8.2.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.8.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.8.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.8.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.8.2.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.9
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.5.3.1.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.10
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.5.3.1.10.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.10.1.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.10.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.10.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.11
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Schritt 2.5.3.1.11.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.11.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.11.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.5.3.1.12
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
Schritt 2.5.3.1.12.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 2.5.3.1.12.1.1
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.5.3.1.12.1.1.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.12.1.1.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.12.1.1.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.12.1.2
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 2.5.3.1.12.1.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Schritt 2.5.3.1.12.1.3.1
Bewege .
Schritt 2.5.3.1.12.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.12.1.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.5.3.1.12.1.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.3.1.12.1.3.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.1.12.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.12.1.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.3.1.12.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.5.3.1.12.3
Addiere und .
Schritt 2.5.3.2
Addiere und .
Schritt 2.5.3.3
Subtrahiere von .
Schritt 2.5.4
Vereinfache den Zähler.
Schritt 2.5.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.1.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.4.2
Schreibe als um.
Schritt 2.5.4.3
Es sei . Ersetze für alle .
Schritt 2.5.4.4
Faktorisiere unter der Verwendung der AC-Methode.
Schritt 2.5.4.4.1
Betrachte die Form . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt und deren Summe ist. In diesem Fall, deren Produkt und deren Summe ist.
Schritt 2.5.4.4.2
Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.
Schritt 2.5.4.5
Ersetze alle durch .
Schritt 2.5.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 2.5.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 2.5.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.5.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3
Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich und löse die Gleichung.
Schritt 4
Schritt 4.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 4.1.1
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 4.1.2
Differenziere.
Schritt 4.1.2.1
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.3
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.1.2.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 4.1.2.6
Vereinfache den Ausdruck.
Schritt 4.1.2.6.1
Addiere und .
Schritt 4.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.3
Potenziere mit .
Schritt 4.1.4
Potenziere mit .
Schritt 4.1.5
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 4.1.6
Addiere und .
Schritt 4.1.7
Subtrahiere von .
Schritt 4.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 5
Schritt 5.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 5.2
Setze den Zähler gleich Null.
Schritt 5.3
Löse die Gleichung nach auf.
Schritt 5.3.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 5.3.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 5.3.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 5.3.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 5.3.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 5.3.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 5.3.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 5.3.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 5.3.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 5.3.4
Vereinfache .
Schritt 5.3.4.1
Schreibe als um.
Schritt 5.3.4.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 5.3.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 5.3.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 5.3.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 5.3.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 6
Schritt 6.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 7
Kritische Punkte zum auswerten.
Schritt 8
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 9
Schritt 9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 9.2.1
Potenziere mit .
Schritt 9.2.2
Addiere und .
Schritt 9.2.3
Potenziere mit .
Schritt 9.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 9.3.1
Potenziere mit .
Schritt 9.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.4
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Schritt 9.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.4.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 9.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.4.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 9.4.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 9.4.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 9.4.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 9.4.3
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 10
ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Maximum
Schritt 11
Schritt 11.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 11.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 11.2.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 11.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 11.2.1.2
Addiere und .
Schritt 11.2.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 11.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 11.2.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 12
Berechne die zweite Ableitung an der Stelle . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.
Schritt 13
Schritt 13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Vereinfache den Nenner.
Schritt 13.2.1
Potenziere mit .
Schritt 13.2.2
Addiere und .
Schritt 13.2.3
Potenziere mit .
Schritt 13.3
Vereinfache den Zähler.
Schritt 13.3.1
Potenziere mit .
Schritt 13.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 13.4
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Schritt 13.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.4.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 13.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.4.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 13.4.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 13.4.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 13.4.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 14
ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.
ist ein lokales Minimum
Schritt 15
Schritt 15.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 15.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 15.2.1
Vereinfache den Nenner.
Schritt 15.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 15.2.1.2
Addiere und .
Schritt 15.2.2
Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.
Schritt 15.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 15.2.2.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.2.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 15.2.2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 15.2.2.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 15.2.2.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 15.2.2.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 15.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 16
Dies sind die lokalen Extrema für .
ist ein lokales Maximum
ist ein lokales Minimum
Schritt 17