Analysis Beispiele

Ermittle die Fläche zwischen den Kurven y=x , y = sechste Wurzel von x
,
Schritt 1
Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.
Schritt 1.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.
Schritt 1.2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3
Faktorisiere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 1.2.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1
Multipliziere mit .
Schritt 1.2.3.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.3.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 1.2.4
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.2.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.1
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.5.2.2
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.2.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.2.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.2.1.1.1
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.2.1.1.1.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.5.2.2.1.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.5.2.2.1.1.2
Vereinfache.
Schritt 1.2.5.2.2.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.5.2.2.2.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 1.2.6
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Setze gleich .
Schritt 1.2.6.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.6.2.2
Potenziere jede Seite der Gleichung mit , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.
Schritt 1.2.6.2.3
Vereinfache den Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.2
Schreibe als um.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.1.3
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.1
Potenziere mit .
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3
Multipliziere die Exponenten in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.1
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.3.1.1.4
Vereinfache.
Schritt 1.2.6.2.3.2
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.1
Vereinfache den Ausdruck.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.1.1
Schreibe als um.
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 1.2.6.2.3.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 1.2.7
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 1.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.3.2.2
Schreibe als um.
Schritt 1.3.2.3
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 1.4
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Ersetze durch .
Schritt 1.4.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 1.4.2.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 1.5
Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.
Schritt 2
Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.
Schritt 3
Integriere, um die Fläche zwischen und zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.
Schritt 3.2
Multipliziere mit .
Schritt 3.3
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 3.4
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.5
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.6
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 3.7
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 3.8
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.1
Kombiniere und .
Schritt 3.8.2
Substituiere und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.1
Berechne bei und .
Schritt 3.8.2.2
Berechne bei und .
Schritt 3.8.2.3
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.3.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.8.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.3
Schreibe als um.
Schritt 3.8.2.3.4
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.8.2.3.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.3.5.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.8.2.3.5.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.8.2.3.6
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.8.2.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.9
Addiere und .
Schritt 3.8.2.3.10
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.8.2.3.11
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.8.2.3.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.3.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.8.2.3.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.3.12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.8.2.3.12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.8.2.3.12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.8.2.3.12.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.8.2.3.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.14
Addiere und .
Schritt 3.8.2.3.15
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.16
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.17
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.3.17.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.17.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.17.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.17.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.18
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.8.2.3.19
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.8.2.3.19.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.8.2.3.19.2
Subtrahiere von .
Schritt 4