Analysis Beispiele

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 5 x + 2$ und $g (x) = 5 x^{3} - x^{2} + 5$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) \frac{d}{d x} [5 x^{3} - x^{2} + 5] + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{3} - x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x + 0) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.9

Addiere $15 x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 2]$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.12

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.15

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5 + 0)$

Schritt 2.16

Addiere $2 x - 5$ und $0$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1$ aus $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)$ heraus.

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $1$ aus $(5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ heraus.

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $1$ aus $1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x)) + 1 ((5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$ heraus.

$1 ((x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5))$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$ mit $1$ .

$(x^{2} - 5 x + 2) (15 x^{2} - 2 x) + (5 x^{3} - x^{2} + 5) (2 x - 5)$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2) + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere $(15 x^{2} - 2 x) (x^{2} - 5 x + 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$15 x^{2} x^{2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$15 (x^{2} x^{2}) + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{2 + 2} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$15 x^{4} + 15 x^{2} (- 5 x) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.3.1

Bewege $x$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$15 x^{4} + 15 \cdot - 5 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $15$ mit $- 5$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 x (- 5 x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.2.8.1

Bewege $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 5 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 2 x \cdot 2 + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$15 x^{4} - 75 x^{3} + 30 x^{2} - 2 x^{3} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 75 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 30 x^{2} + 10 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.4

Addiere $30 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + (2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$

Schritt 3.4.5

Multipliziere $(2 x - 5) (5 x^{3} - x^{2} + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 x (5 x^{3}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x \cdot x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 (x^{3} x^{1}) + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{3 + 1} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 5 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.6.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.6.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 5 - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.7

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 5 (5 x^{3}) - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} - 5 (- x^{2}) - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 5 \cdot 5$

Schritt 3.4.6.10

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 2 x^{3} + 10 x - 25 x^{3} + 5 x^{2} - 25$

Schritt 3.4.7

Subtrahiere $25 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x^{4} - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

Schritt 3.5

Addiere $15 x^{4}$ und $10 x^{4}$ .

$25 x^{4} - 77 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x - 27 x^{3} + 10 x + 5 x^{2} - 25$

Schritt 3.6

Subtrahiere $27 x^{3}$ von $- 77 x^{3}$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 40 x^{2} - 4 x + 10 x + 5 x^{2} - 25$

Schritt 3.7

Addiere $40 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} - 4 x + 10 x - 25$

Schritt 3.8

Addiere $- 4 x$ und $10 x$ .

$25 x^{4} - 104 x^{3} + 45 x^{2} + 6 x - 25$