Analysis Beispiele

(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

f (x) = x + 8

$f (x) = x + 8$ und

g (x) = \frac{24}{x} + 12

$g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

\frac{24}{x} + 12

$\frac{24}{x} + 12$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]

$\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.2

24

$24$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

\frac{24}{x}

$\frac{24}{x}$ nach

x

$x$ gleich

24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.3

Schreibe

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ als

x^{- 1}

$x^{- 1}$ um.

(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = - 1

$n = - 1$ .

(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

24

$24$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.6

12

$12$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

12

$12$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.7

Addiere

- 24 x^{- 2}

$- 24 x^{- 2}$ und

0

$0$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

x + 8

$x + 8$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.10

8

$8$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

8

$8$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere

\frac{24}{x} + 12

$\frac{24}{x} + 12$ mit

1

$1$ .

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Schritt 3

(x + 8) (- 24 x^{- 2})

$(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{x}{x}

$\frac{x}{x}$ .

\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Schritt 5

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Schritt 7

Subtrahiere

2

$2$ von

1

$1$ .

\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3

Vereine die Terme

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Schritt 8.3.1

Kombiniere

- 24

$- 24$ und

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.3

Kombiniere

x

$x$ und

\frac{24}{x}

$\frac{24}{x}$ .

\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.4

Bringe

24

$24$ auf die linke Seite von

x

$x$ .

\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x

$x$ .

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Schritt 8.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.5.2

Dividiere

24

$24$ durch

1

$1$ .

\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

24

$24$ .

\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.7

Kombiniere

- 24

$- 24$ und

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

8

$8$ .

\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.10

Kombiniere

- 8

$- 8$ und

\frac{24}{x}

$\frac{24}{x}$ .

\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

24

$24$ .

\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.13

Addiere

- 24

$- 24$ und

24

$24$ .

\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Schritt 8.3.14

Addiere

- \frac{192}{x}

$- \frac{192}{x}$ und

0

$0$ .

\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Schritt 8.3.15

Schreibe

\frac{- \frac{192}{x}}{x}

$\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ als ein Produkt um.

- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Schritt 8.3.16

Mutltipliziere

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ mit

\frac{192}{x}

$\frac{192}{x}$ .

- \frac{192}{x \cdot x} + 12

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Schritt 8.3.17

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

- \frac{192}{x^{1} x} + 12

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Schritt 8.3.18

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Schritt 8.3.19

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Schritt 8.3.20

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

- \frac{192}{x^{2}} + 12

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$

- \frac{192}{x^{2}} + 12

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$

- \frac{192}{x^{2}} + 12

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$