Analysis Beispiele

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 8$ und $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{24}{x} + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.2

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{24}{x}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.6

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.7

Addiere $- 24 x^{- 2}$ und $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.10

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $\frac{24}{x} + 12$ mit $1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Schritt 3

Um $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Schritt 7

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3

Vereine die Terme

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Schritt 8.3.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.4

Bringe $24$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.5.2

Dividiere $24$ durch $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.10

Kombiniere $- 8$ und $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $24$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Schritt 8.3.13

Addiere $- 24$ und $24$ .

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Schritt 8.3.14

Addiere $- \frac{192}{x}$ und $0$ .

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Schritt 8.3.15

Schreibe $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ als ein Produkt um.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Schritt 8.3.16

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{192}{x}$ .

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Schritt 8.3.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Schritt 8.3.18

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Schritt 8.3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Schritt 8.3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$