Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 6.3

Bringe ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 9

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2})$

Schritt 10.2

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 ({(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$