Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 48 x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Da $- 48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 48 x$ nach $x$ gleich $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $12 x^{2} - 48$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $48$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{2} = 48$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 48$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 48$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Dividiere $48$ durch $12$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 24$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $16$ .

$f (2) = - 80 + 24$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 80$ und $24$ .

$f (2) = - 56$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 56$ .

$- 56$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ ermittelt werden kann, ist $(2, - 56)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, - 56)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $16$ .

$f (- 2) = - 80 - 24$

Schritt 3.3.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 80$ .

$f (- 2) = - 104$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 104$ .

$- 104$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, - 104)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, - 104)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2.1$ mit $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $48$ von $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 4.92$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.92$ .

$4.92$

Schritt 5.3

Bei $- 2.1$ ist die zweite Ableitung $4.92$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $48$ von $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 48$ .

$- 48$

Schritt 6.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 48$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 2, 2)$

Abfallend im Intervall $(- 2, 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $48$ von $52.92$ .

$f'' (2.1) = 4.92$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $4.92$ .

$4.92$

Schritt 7.3

Bei $2.1$ ist die zweite Ableitung $4.92$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

Schritt 9