Analysis Beispiele

${(4 x + 4 y)}^{3} = 64 x^{3} + 64 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(4 x + 4 y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (64 x^{3} + 64 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 x + 4 y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 4 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x + 4 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 4 y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 4 y$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x + 4 y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [4 y])$

Schritt 2.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 + 4 \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 + 4 y')$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(4 x + 4 y)}^{2} \cdot 4 + 3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 y')$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 3 {(4 x + 4 y)}^{2} (4 y')$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 {(4 x + 4 y)}^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{3} + 64 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{3}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [64 y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [64 y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 y^{3}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$192 x^{2} + 64 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$192 x^{2} + 64 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$192 x^{2} + 64 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$192 x^{2} + 64 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$192 x^{2} + 64 (3 y^{2} y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$192 x^{2} + 192 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 {(4 x + 4 y)}^{2} y' = 192 x^{2} + 192 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 {(4 x + 4 y)}^{2} y'$ um.

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} = 192 x^{2} + 192 y^{2} y'$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $y'$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $192 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 {(4 x + 4 y)}^{2} + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe ${(4 x + 4 y)}^{2}$ als $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ um.

$12 ((4 x + 4 y) (4 x + 4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (4 x (4 x + 4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$12 (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$12 (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$12 (16 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 (16 x^{2} + 4 \cdot 4 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 4 \cdot 4 y x + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 y (4 y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y \cdot y) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.9

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.3.1.9.1

Bewege $y$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 (y \cdot y)) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.2

Addiere $16 x y$ und $16 y x$ .

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Schritt 5.2.2.3.2.1

Bewege $y$ .

$12 (16 x^{2} + 16 x y + 16 x y + 16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.3.2.2

Addiere $16 x y$ und $16 x y$ .

$12 (16 x^{2} + 32 x y + 16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (16 x^{2}) + 12 (32 x y) + 12 (16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.5.1

Mutltipliziere $16$ mit $12$ .

$192 x^{2} + 12 (32 x y) + 12 (16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.5.2

Mutltipliziere $32$ mit $12$ .

$192 x^{2} + 384 (x y) + 12 (16 y^{2}) + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.5.3

Mutltipliziere $16$ mit $12$ .

$192 x^{2} + 384 (x y) + 192 y^{2} + 12 y' {(4 x + 4 y)}^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.6

Schreibe ${(4 x + 4 y)}^{2}$ als $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ um.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' ((4 x + 4 y) (4 x + 4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.7

Multipliziere $(4 x + 4 y) (4 x + 4 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 x (4 x + 4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x + 4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 x (4 x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.8.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.8.1.2.1

Bewege $x$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 4 x (4 y) + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 4 \cdot 4 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 4 y (4 x) + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 4 \cdot 4 y x + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 y (4 y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y \cdot y) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.9

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.8.1.9.1

Bewege $y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 (y \cdot y)) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.9.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 4 \cdot 4 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 y x + 16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.2

Addiere $16 x y$ und $16 y x$ .

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Schritt 5.2.2.8.2.1

Bewege $y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 16 x y + 16 x y + 16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.8.2.2

Addiere $16 x y$ und $16 x y$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2} + 32 x y + 16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 y' (16 x^{2}) + 12 y' (32 x y) + 12 y' (16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.10

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.10.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 \cdot 16 y' x^{2} + 12 y' (32 x y) + 12 y' (16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.10.2

Mutltipliziere $32$ mit $12$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 \cdot 16 y' x^{2} + 384 y' (x y) + 12 y' (16 y^{2}) - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.10.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 12 \cdot 16 y' x^{2} + 384 y' (x y) + 12 \cdot 16 y' y^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.11.1

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' (x y) + 12 \cdot 16 y' y^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.2.11.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 192 y' y^{2} - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 192 y' y^{2} - 192 y^{2} y'$ .

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Schritt 5.2.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $192 y' y^{2}$ und $- 192 y^{2} y'$ neu an.

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 192 y^{2} y' - 192 y^{2} y' = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.3.2

Subtrahiere $192 y^{2} y'$ von $192 y^{2} y'$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y + 0 = 192 x^{2}$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y$ und $0$ .

$192 x^{2} + 384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2}$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $192 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$384 x y + 192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2} - 192 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $384 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 y^{2} + 192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2} - 192 x^{2} - 384 x y$

Schritt 5.3.3

Subtrahiere $192 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$192 y' x^{2} + 384 y' x y = 192 x^{2} - 192 x^{2} - 384 x y - 192 y^{2}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $192 x^{2}$ von $192 x^{2}$ .

$192 y' x^{2} + 384 y' x y = 0 - 384 x y - 192 y^{2}$

Schritt 5.3.5

Subtrahiere $384 x y$ von $0$ .

$192 y' x^{2} + 384 y' x y = - 384 x y - 192 y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $192 y' x$ aus $192 y' x^{2} + 384 y' x y$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $192 y' x$ aus $192 y' x^{2}$ heraus.

$192 y' x \cdot x + 384 y' x y = - 384 x y - 192 y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $192 y' x$ aus $384 y' x y$ heraus.

$192 y' x \cdot x + 192 y' x (2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $192 y' x$ aus $192 y' x \cdot x + 192 y' x (2 y)$ heraus.

$192 y' x (x + 2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $192 y' x (x + 2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$ durch $192 x (x + 2 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $192 y' x (x + 2 y) = - 384 x y - 192 y^{2}$ durch $192 x (x + 2 y)$ .

$\frac{192 y' x (x + 2 y)}{192 x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $192$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{192 y' x (x + 2 y)}{192 x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2 y$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 384 x y}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 384$ und $192$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $192$ aus $- 384 x y$ heraus.

$y' = \frac{192 (- 2 x y)}{192 x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $192$ aus $192 x (x + 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{192 (- 2 x y)}{192 (x (x + 2 y))} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{192 (- 2 x y)}{192 (x (x + 2 y))} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 192 y^{2}}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 192$ und $192$ .

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Schritt 5.5.3.1.4.1

Faktorisiere $192$ aus $- 192 y^{2}$ heraus.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{192 (- y^{2})}{192 x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.4.2.1

Faktorisiere $192$ aus $192 x (x + 2 y)$ heraus.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{192 (- y^{2})}{192 (x (x + 2 y))}$

Schritt 5.5.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{192 (- y^{2})}{192 (x (x + 2 y))}$

Schritt 5.5.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.2

Um $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2 y) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x + 2 y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x + 2 y) x$ um.

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y x - y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y x$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 2 x) + y (- y)$ heraus.

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.9.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

Schritt 5.5.3.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$