Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{2}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 \ln (x) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))$ heraus.

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 3 \ln (x)}{x^{4}}$

Schritt 6

Vereinfache $- 3 \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1 - \ln (x^{3})}{x^{4}}$