Analysis Beispiele

$y = (x + 6) (\frac{x}{x + 1})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 6$ und $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}] + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 6) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$(x + 6) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.6.4

Addiere $0$ und $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [6])$

Schritt 3.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} (1 + 0)$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1} \cdot 1$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $1$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{x}{x + 1}$

Schritt 4

Um $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Schritt 5

Kombiniere $(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ und $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1)}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 6) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.1

Mutltipliziere $x + 6$ mit $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{{(x + 1)}^{2}} (x + 1) + x}{x + 1}$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Schritt 7.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x + 6}{(x + 1) (x + 1)} (x + 1) + x}{x + 1}$

Schritt 7.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + x}{x + 1}$

Schritt 7.1.2

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{x + 6}{x + 1} + \frac{x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x + 6 + x (x + 1)}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{x + 6 + x \cdot x + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x \cdot 1}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.1.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x + 6 + x^{2} + x}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.1.4.4

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 x + 6 + x^{2}}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.1.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\frac{\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}}{x + 1}$ als ein Produkt um.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 2 x + 6}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{(x + 1) (x + 1)}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Schritt 7.2.4

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Schritt 7.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 6}{{(x + 1)}^{2}}$