Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sin (4 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (4 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$x^{2} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$x^{2} (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$x^{2} (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (4 \cos (4 x)) + \sin (4 x) (2 x)$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$4 x^{2} \cos (4 x) + 2 x \sin (4 x)$