Analysis Beispiele

$y = x^{6 \cos (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6 \cos (x)}$ als $e^{\ln (x^{6 \cos (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{6 \cos (x)})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{6 \cos (x)})$ durch Herausziehen von $6 \cos (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{6 \cos (x) \ln (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 \cos (x) \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 \cos (x) \ln (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 \cos (x) \ln (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{6 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [6 \cos (x) \ln (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \cos (x) \ln (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{6 \cos (x) \ln (x)} (6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Schritt 3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e^{6 \cos (x) \ln (x)}$ .

$6 \cdot e^{6 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{x}$ und $6$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 6}{x} e^{6 \cos (x) \ln (x)} + 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) \cdot 6}{x}$ und $e^{6 \cos (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Schritt 8.2.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{6 \cdot \cos (x) e^{6 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{6 \cos (x) e^{6 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$- 6 e^{6 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{6 \cos (x) e^{6 \cos (x) \ln (x)}}{x}$