Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2} + 1$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.8

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} = - 4$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 4$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4}{1 + 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{2}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$2$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Schritt 4.2.2.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$- 2$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Schritt 5