Analysis Beispiele

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $6 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x^{2} y'$ heraus.

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ heraus.

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x y$ heraus.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} - 2 x y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x (- 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (2 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.6.1

Schreibe $- (x + 2 y)$ als $- 1 (x + 2 y)$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x (x + 2 y) = 0$

Schritt 7.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

Schritt 7.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.3

Setze $x + 2 y$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.3.1

Setze $x + 2 y$ gleich $0$ .

$x + 2 y = 0$

Schritt 7.2.3.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 y$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2 y) = 0$ wahr machen.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

Schritt 8.1.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

Schritt 8.1.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

Schritt 8.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

Schritt 8.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + y^{3}$ .

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Schritt 8.1.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

Schritt 8.1.2.2

Addiere $0$ und $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

Schritt 8.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} - 8 = 0$

Schritt 8.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 8.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = y$ und $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 8.3.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

Schritt 8.3.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

Schritt 8.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Schritt 8.5

Setze $y - 2$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.5.1

Setze $y - 2$ gleich $0$ .

$y - 2 = 0$

Schritt 8.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 2$

Schritt 8.6

Setze $y^{2} + 2 y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.6.1

Setze $y^{2} + 2 y + 4$ gleich $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Schritt 8.6.2

Löse $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 8.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.6.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.6.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 8.6.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 8.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.6.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.6.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 8.6.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 8.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 8.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 y$ an.

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.3

Wende die Produktregel auf $- 2 y$ an.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.4

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1.1.4.1

Bewege $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 9.1.1.4.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- 8 y^{3}$ und $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $4 y^{3}$ und $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = 8$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{3} = 8$ durch $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

Schritt 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

Schritt 9.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

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Schritt 9.4.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ als $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 9.4.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 9.4.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 9.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 9.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 9.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Schritt 9.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Schritt 9.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ als $5$ um.

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Schritt 9.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 9.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 9.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 9.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Schritt 9.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Schritt 9.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{5^{2}}$ um.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Schritt 9.4.5.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

Schritt 11