Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x - \sin (3 x)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x - \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 - \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 - \sin (3 \cdot 0)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 - \sin (3 \cdot 0)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 6.1.5

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{3 x - \tan (3 x)}$

Schritt 6.2

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{3 x - \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Schritt 6.3

Dividiere $0$ durch $3 x - \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$0$