Analysis Beispiele

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(x - 5) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{16} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{1}^{16} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{16} x^{1 - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 \int_{1}^{16} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $16$ und $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Schritt 9.2

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}}$ bei $16$ und $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{128 - 2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.10

Subtrahiere $2$ von $128$ .

$\frac{126}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $126$ und $3$ .

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Schritt 9.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $126$ heraus.

$\frac{3 \cdot 42}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 42}{3 (1)} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{42}{1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.11.2.4

Dividiere $42$ durch $1$ .

$42 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.12

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$42 - 5 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.13

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$42 - 5 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.15

Berechne den Exponenten.

$42 - 5 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.16

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Schritt 9.3.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1)$

Schritt 9.3.18

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$42 - 5 (8 - 2)$

Schritt 9.3.19

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$42 - 5 \cdot 6$

Schritt 9.3.20

Mutltipliziere $- 5$ mit $6$ .

$42 - 30$

Schritt 9.3.21

Subtrahiere $30$ von $42$ .

$12$

Schritt 10