Analysis Beispiele

$\int_{7}^{8} x \sqrt{x - 7} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sqrt{x - 7}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - (\frac{2}{3} \int_{7}^{8} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Schritt 4

Sei $u = x - 7$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = x - 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Schritt 4.1.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 7$ ein.

$u_{lower} = 7 - 7$

Schritt 4.3

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 7$ ein.

$u_{upper} = 8 - 7$

Schritt 4.5

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ bei $8$ und $7$ .

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 6.2

Berechne $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{8 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{8 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.5

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.11

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{16}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{16}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.14

Addiere $\frac{16}{3}$ und $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.16

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.17

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 6.3.18

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Schritt 6.3.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.19.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Schritt 6.3.19.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Schritt 6.3.20

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Schritt 6.3.21

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Schritt 6.3.22

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{5}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Schritt 6.3.23

Addiere $\frac{2}{5}$ und $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Schritt 6.3.24

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Schritt 6.3.25

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Schritt 6.3.26

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.27

Um $\frac{16}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.28

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.3.28.1

Mutltipliziere $\frac{16}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.28.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Schritt 6.3.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 \cdot 5 - 4}{15}$

Schritt 6.3.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.30.1

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$\frac{80 - 4}{15}$

Schritt 6.3.30.2

Subtrahiere $4$ von $80$ .

$\frac{76}{15}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{76}{15}$

Dezimalform:

$5.0\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{1}{15}$

Schritt 8