Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} | x - 1 | d x$

Schritt 1

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x - 1$ positiv oder negativ ist.

$\int_{0}^{1} - x + 1 d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} - x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x - 1 d x$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 1 d x$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3} + - x]_{1}^{3}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}$ und $- x]_{1}^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + x]_{0}^{1} + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Schritt 10.2.2

Berechne $x$ bei $1$ und $0$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{3}$

Schritt 10.2.3

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} - x$ bei $3$ und $1$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4

Vereinfache.

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Schritt 10.2.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- (\frac{1}{2} + 0) + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.5

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.6

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{1}{2} + 1 + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.9

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - 1 \cdot 3) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 1 \cdot 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.13

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.14

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.16.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{9 - 6}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.16.2

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.18

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2.4.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1)$

Schritt 10.2.4.20

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 10.2.4.21

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 10.2.4.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.23.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1 - 2}{2}$

Schritt 10.2.4.23.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.4.24

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.4.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 10.2.4.26

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 10.2.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} + \frac{3 + 1}{2}$

Schritt 10.2.4.28

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 10.2.4.29

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.29.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.29.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.29.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 10.2.4.29.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.29.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{1}$

Schritt 10.2.4.29.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} + 2$

Schritt 10.2.4.30

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.2.4.31

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.32

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.33

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.33.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1 + 4}{2}$

Schritt 10.2.4.33.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{5}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{2}$

Dezimalform:

$2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{2}$

Schritt 12