Analysis Beispiele

$\int x e^{6 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{6 x}$ .

$x (\frac{1}{6} e^{6 x}) - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{6 x}$ .

$x \frac{e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{6 x}}{6}$ .

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \int \frac{1}{6} e^{6 x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{x e^{6 x}}{6} - (\frac{1}{6} \int e^{6 x} d x)$

Schritt 4

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 4.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

Schritt 5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} \int \frac{e^{u}}{6} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \int e^{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6} \int e^{u} d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} \int e^{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C)$

Schritt 9

Schreibe $\frac{x e^{6 x}}{6} - \frac{1}{36} (e^{u} + C)$ als $\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u} + C$ um.

$\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{u} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$\frac{1}{6} x e^{6 x} - \frac{1}{36} e^{6 x} + C$