Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t) + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ heraus.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \tan (t)$ heraus.

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Produktregel auf $2 (\tan (t))$ an.

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.2.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 3

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Schritt 4

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 5

Faktorisiere $\tan^{2} (t)$ aus.

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 6

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Vereinfache.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 8

Sei $u = \sec (t)$ . Dann ist $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = \sec (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Schritt 8.1.2

Die Ableitung von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Schritt 13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 13.1

Ersetze alle $u$ durch $\sec (t)$ .

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Schritt 13.2

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.6

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

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Schritt 14.1.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.12

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.14

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

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Schritt 14.1.14.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.14.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.14.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

Schritt 14.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

Schritt 14.1.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

Schritt 14.1.17

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ an.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

Schritt 14.1.18

Kombinieren.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Schritt 14.1.19

Mutltipliziere ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ mit $1$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Schritt 14.1.20

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.21.1

Schreibe ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ als $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ um.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21.2

Faktorisiere ${(4 + x^{2})}^{2}$ aus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21.5

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ heraus.

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Schritt 14.1.21.5.1

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21.5.2

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.21.5.3

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ heraus.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

Schritt 14.1.22

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Schritt 14.2

Um $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Schritt 14.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $24$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

Schritt 14.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 14.5.1

Faktorisiere $8$ aus $24$ heraus.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

Schritt 14.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

Schritt 14.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Schritt 14.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.6.1

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ heraus.

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Schritt 14.6.1.1

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Schritt 14.6.1.2

Faktorisiere $\sqrt{4 + x^{2}}$ aus $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Schritt 14.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Schritt 14.6.3

Addiere $- 12$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

Schritt 14.7

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

Schritt 14.8

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Schritt 14.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

Schritt 14.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$