Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x^{10}$ . Dann ist $d u = 10 x^{9} d x$ , folglich $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x^{10}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{10}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{10}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{10}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{9}$ und $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{10} u^{10}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{10}$ und $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1024$ und $10$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $1024$ heraus.

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Schritt 5.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

Schritt 5.2.6

Um $\frac{512}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

Schritt 5.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{512}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $512$ mit $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

Schritt 5.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

Schritt 5.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$\frac{1023}{100}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1023}{100}$

Dezimalform:

$10.23$

Darstellung als gemischte Zahl:

$10 \frac{23}{100}$

Schritt 7