Analysis Beispiele

$\int 3 x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x {(x^{2} - 3)}^{7} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} - 3$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int u^{7} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{7}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{7}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int u^{7} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int u^{7} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{3}{2} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ als $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ um.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8} u^{8} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{3}{16} u^{8} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 3$ .

$\frac{3}{16} {(x^{2} - 3)}^{8} + C$