Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sin (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{3}$ und $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (3 x^{2}) d x$

Schritt 2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) - \int - 3 \cos (x) x^{2} d x$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$x^{3} (- \cos (x)) - (- 3 \int \cos (x) x^{2} d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 \int \cos (x) x^{2} d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \cos (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - \int \sin (x) (2 x) d x)$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - (2 \int \sin (x) (x) d x))$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 \int \sin (x) (x) d x)$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x))$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x))$

Schritt 11

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$

Schritt 12

Schreibe $x^{3} (- \cos (x)) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C))$ als $- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$ um.

$- x^{3} \cos (x) + 3 (x^{2} \sin (x) - 2 (x (- \cos (x)) + \sin (x))) + C$