Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{x + 4}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x + 4) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (x + 4) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (x + 4) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(x + 4) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.7

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $4 x^{- \frac{1}{2}}$ um.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9

Vereinfache.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$