Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{2} (x - 8 | x |) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{2} x - 8 | x | d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 8 | x | d x$

Schritt 4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 \int_{- 1}^{2} | x | d x$

Schritt 5

Teile das Integral auf in Abhängigkeit davon, ob $x$ positiv oder negativ ist.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{2} x d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{2} x d x)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $2$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 10.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4

Vereinfache.

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Schritt 10.2.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 1}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.9.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.11.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} - 8 (- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.13

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (- - \frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (1 (\frac{1}{2}) + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + (\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.16

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.17.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.17.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.17.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 10.2.4.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{2})$

Schritt 10.2.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 10.2.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 10.2.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 10.2.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - \frac{0}{1})$

Schritt 10.2.4.19.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 - 0)$

Schritt 10.2.4.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 + 0)$

Schritt 10.2.4.21

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2)$

Schritt 10.2.4.22

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 10.2.4.23

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 10.2.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.25.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} - 8 \frac{1 + 4}{2}$

Schritt 10.2.4.25.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{3}{2} - 8 (\frac{5}{2})$

Schritt 10.2.4.26

Kombiniere $- 8$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 8 \cdot 5}{2}$

Schritt 10.2.4.27

Mutltipliziere $- 8$ mit $5$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 40}{2}$

Schritt 10.2.4.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 40$ und $2$ .

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Schritt 10.2.4.28.1

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2}$

Schritt 10.2.4.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.4.28.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 (1)}$

Schritt 10.2.4.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} + \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2.4.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} + \frac{- 20}{1}$

Schritt 10.2.4.28.2.4

Dividiere $- 20$ durch $1$ .

$\frac{3}{2} - 20$

Schritt 10.2.4.29

Um $- 20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.2.4.30

Kombiniere $- 20$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.31

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 20 \cdot 2}{2}$

Schritt 10.2.4.32

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.32.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $2$ .

$\frac{3 - 40}{2}$

Schritt 10.2.4.32.2

Subtrahiere $40$ von $3$ .

$\frac{- 37}{2}$

Schritt 10.2.4.33

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{37}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{37}{2}$

Dezimalform:

$- 18.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 18 \frac{1}{2}$

Schritt 12