Analysis Beispiele

$\int \frac{\ln (x)}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \ln (x) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln (x) x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int \ln (x) x^{- 4} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 4}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{3 x^{3}}) - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{3}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{x (3 x^{3})} d x$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 (x^{1} x^{3})} d x$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{1 + 3}} d x$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $3$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \int - \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - - \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + 1 \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{3 x^{4}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \int \frac{1}{3 x^{4}} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \int x^{- 4} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$ als $- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}}) + C$ um.

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{x^{3} \cdot 3}) + C$

Schritt 9.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot x^{3}}) + C$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{3 (3 x^{3})} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{\ln (x)}{3 x^{3}} - \frac{1}{9 x^{3}} + C$