Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} \sqrt{x^{2} + 25} d x$

Schritt 1

Sei $x = 5 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 5 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{{(5 \tan (t))}^{2} + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2} + 25}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 \tan (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{5^{2} \tan^{2} (t) + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 \tan^{2} (t) + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $25$ aus $25 \tan^{2} (t) + 25$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $25$ aus $25 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 (\tan^{2} (t)) + 25} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 (\tan^{2} (t)) + 25 (1)} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (\tan^{2} (t)) + 25 (1)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 (\tan^{2} (t) + 1)} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{25 \sec^{2} (t)} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $25 \sec^{2} (t)$ als ${(5 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{{(5 \sec (t))}^{2}} (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 5 \sec (t) (5 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1

Bewege $\sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (t)$ mit $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 25 \sec^{3} (t) d t$

Schritt 3

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $25$ aus dem Integral.

$25 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

Schritt 4

Wende die Reduktionsformel an.

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t)$

Schritt 5

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2})$

Schritt 6.2

Um $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$25 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2})$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$25 (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2})$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$25 \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2}$

Schritt 6.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$25 \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2}$

Schritt 6.6

Kombiniere $25$ und $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}}{2}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})}{2}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{25 (2 ((\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})}{2}$

Schritt 7.2

Berechne $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\frac{25 (2 ((\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 7.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{25 (2 (\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.5

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.6

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.7

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))}{2}$

Schritt 8.8

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.9

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.10

Schreibe $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{25 (2 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.11

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{25 (2 (\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (2 (\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.13.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.14

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.15.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.15.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1}) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - 0) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{25 (2 (\frac{1}{\sqrt{2}} + 0) + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.17

Addiere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ und $0$ .

$\frac{25 (2 \frac{1}{\sqrt{2}} + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.18

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2}{\sqrt{2}} + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.19

Um $\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 + 0 |))}{2}$

Schritt 8.21

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 |))}{2}$

Schritt 8.22

Um $- \ln (| 1 |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \ln (| 1 |) \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{2}$

Schritt 8.23

Kombiniere $- \ln (| 1 |)$ und $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{- \ln (| 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}})}{2}$

Schritt 8.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{25 \frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{2}$

Schritt 8.25

Kombiniere $25$ und $\frac{2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}}}{2}$

Schritt 8.26

Schreibe $\frac{\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}}}{2}$ als ein Produkt um.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.27

Mutltipliziere $\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{\sqrt{2} \cdot 2}$

Schritt 8.28

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (2 + \ln (| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (| \sqrt{2} + 1 |) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2

$\sqrt{2} + 1$ ist ungefähr $2.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} - \ln (| 1 |) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} - \ln (1) \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} - 0 \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 0 \sqrt{2})}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$\frac{25 (2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 0)}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.7

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{25 (\ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 2)}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{25 (\ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}) + 25 \cdot 2}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\frac{25 \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 50}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{25 \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2} + 50}{2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$28.69483936 \dots$

Schritt 11