Analysis Beispiele

$\int x \sin (4 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (4 x)$ .

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (4 x)$ und $\frac{1}{4}$ .

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Schritt 4

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 5.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Schritt 8

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

Schritt 10

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Schritt 10.1

Schreibe $- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ als $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ um.

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Schritt 10.2

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $\cos (4 x)$ und $\frac{x}{4}$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

Schritt 12

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (4 x) x}{4}$ um.

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$