Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 27}$ als ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Schritt 1.10

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Schritt 1.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Schritt 1.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.11.5

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.10.3

Bringe ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.10.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.13

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.14.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.14.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.14.4

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.22

Um ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.24

Multipliziere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.24.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.24.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.24.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.24.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 27) - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.25

Vereinfache ${(x^{2} + 27)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 27 - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.26

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.27

Addiere $0$ und $27$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.28

Schreibe $\frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 27}$

Schritt 2.29

Mutltipliziere $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 27}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Schritt 2.30

Multipliziere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 27$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.30.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 27$ .

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Schritt 2.30.1.1

Potenziere $x^{2} + 27$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Schritt 2.30.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 2.30.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 2.30.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 2.30.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ als ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Schritt 3.1.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 3.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.7.2

Kombiniere ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.7.3.2

Bringe ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f''' (x) = - 27 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ und $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 27}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 3.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{- 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 3.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Schritt 3.10

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 3.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Schritt 3.11.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Schritt 3.11.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $81$ .

$f''' (x) = \frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Schritt 3.11.5

Kombiniere $\frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ und $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 162 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.11.6

Faktorisiere $2$ aus $- 162 x$ heraus.

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = \frac{- 81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4.2

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.9

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.9.2

Kombiniere $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ und $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 27$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.12

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $27$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.13

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.13.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.13.5

Kombiniere $\frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ und $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.17

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.18

Faktorisiere $2$ aus $- 10 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ heraus.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.19.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.19.4

Dividiere $- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ durch $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.20

Faktorisiere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ aus ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.20.1

Bewege ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.20.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ aus ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.20.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ aus $- 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.20.4

Faktorisiere ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ aus ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ heraus.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.21.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.21.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 27) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.22

Vereinfache.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 27 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.23

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Schritt 4.24

Bringe ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.25

Multipliziere ${(x^{2} + 27)}^{5}$ mit ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.25.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.25.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.25.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.25.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Schritt 4.25.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.25.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

Schritt 4.25.5.2

Subtrahiere $3$ von $10$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.26

Kombiniere $- 81$ und $\frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = - \frac{(81) (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28

Vereinfache.

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Schritt 4.28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.28.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $81$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.2.2

Mutltipliziere $81$ mit $27$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.3

Faktorisiere $81$ aus $- 324 x^{2} + 2187$ heraus.

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Schritt 4.28.3.1

Faktorisiere $81$ aus $- 324 x^{2}$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.3.2

Faktorisiere $81$ aus $2187$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.3.3

Faktorisiere $81$ aus $81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.5

Schreibe $27$ als $- 1 (- 27)$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) - 1 \cdot - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x^{2}) - 1 (- 27)$ heraus.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.7

Schreibe $- (4 x^{2} - 27)$ als $- 1 (4 x^{2} - 27)$ um.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 1 (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.28.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}})$

Schritt 4.28.10

Mutltipliziere $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ mit $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 5

Die vierte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$