Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $\ln (x) x$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Schritt 4.2

Berechne $x$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$e - \ln (1) - (e - 1)$

Schritt 5.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e - 0 - (e - 1)$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e + 0 - (e - 1)$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$e + 0 - e - - 1$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e + 0 - e + 1$

Schritt 5.2

Addiere $e$ und $0$ .

$e - e + 1$

Schritt 5.3

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$0 + 1$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$1$