Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 100}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 10 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 10 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $10 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(10 \tan (t))}^{2} + 100}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $10 \tan (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{10^{2} \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \tan^{2} (t) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $100$ aus $100 \tan^{2} (t) + 100$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $100$ aus $100 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $100$ aus $100$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $100$ aus $100 (\tan^{2} (t)) + 100 (1)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 (\tan^{2} (t) + 1)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{100 \sec^{2} (t)}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $100 \sec^{2} (t)$ als ${(10 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(10 \sec (t))}^{2}}} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $10 \sec (t)$ aus $10 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{10 \sec (t)} (10 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sec (t) d t$

Schritt 3

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{10})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{10})) + \tan (\arctan (\frac{x}{10})) |) + C$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{10} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{10} x)) |) + C$