Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 2 x e^{x} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Schritt 3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $x e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Schritt 4.2

Berechne $e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache.

$2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 4.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 4.3.5

Addiere $e$ und $0$ .

$2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

$2 (e - (e - e^{0}))$

Schritt 4.3.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (e - (e - 1))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (e - e - - 1)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (e - e + 1)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$2 (0 + 1)$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6