Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = e^{x} - e^{- x}$ . Dann ist $d u_{2} = (e^{x} + e^{- x}) d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = e^{x} - e^{- x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.1.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.1.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.1.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 1.1.4.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{x} - - e^{- x}$

Schritt 1.1.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{x} + 1 e^{- x}$

Schritt 1.1.4.9

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$e^{x} + e^{- x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x} - e^{- x}$ .

$\ln (| e^{x} - e^{- x} |) + C$