Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{x} + x)}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (e^{x} + x)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (e^{x} + x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{\ln (e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (e^{0} + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.5.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^{x} + x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ um.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $e^{x} + 1$ mit $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Schritt 4.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + x}}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 4.6

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{e^{0} + 0}}$

Schritt 6.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{\frac{2}{e^{0} + 0}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{\frac{2}{1 + 0}}$

Schritt 6.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

Schritt 6.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$e^{2}$