Analysis Beispiele

$- \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = - 1$ und $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ als ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 2}$ und $g (t) = 3 + t$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + t$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + t$ .

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 4.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ mit $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

Schritt 4.8.2

Addiere $2 {(3 + t)}^{- 3}$ und $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$