Analysis Beispiele

$y \sin (x^{2}) = x \sin (y^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x \sin (y^{2}))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$y (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$y (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y \cos (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) y'$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (y^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y^{2})] + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y^{2}$ .

$x (\cos (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$x \cos (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x \cos (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2}) \cdot 1$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $\sin (y^{2})$ mit $1$ .

$x \cos (y^{2}) (2 y y') + \sin (y^{2})$

Schritt 3.6.2

Stelle die Terme um.

$2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y' = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $2 x y \cos (x^{2}) + \sin (x^{2}) y'$ um.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Stelle die Faktoren in $2 x y \cos (y^{2}) y' + \sin (y^{2})$ um.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) = 2 x y y' \cos (y^{2}) + \sin (y^{2})$

Schritt 5.3

Subtrahiere $2 x y y' \cos (y^{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y \cos (x^{2}) + y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2})$

Schritt 5.4

Subtrahiere $2 x y \cos (x^{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Schritt 5.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (x^{2}) - 2 x y y' \cos (y^{2})$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (x^{2})$ heraus.

$y' (\sin (x^{2})) - 2 x y y' \cos (y^{2}) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 x y y' \cos (y^{2})$ heraus.

$y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\sin (x^{2})) + y' (- 2 x y \cos (y^{2}))$ heraus.

$y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ durch $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})) = \sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})$ durch $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

$\frac{y' (\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2}))}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} + \frac{- 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\sin (y^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})} - \frac{2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Schritt 5.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y^{2}) - 2 x y \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) - 2 x y \cos (y^{2})}$