Analysis Beispiele

$2 x y + y^{2} = x + y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y) + 2 y y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x y') + 2 y + 2 y y'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y = 1 + y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' + 2 y y' + 2 y - y' = 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y' + 2 y y' - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y'$ heraus.

$y' (2 x) + 2 y y' - y' = 1 - 2 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y' (2 x) + y' (2 y) - y' = 1 - 2 y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (2 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x) + y' (2 y)$ heraus.

$y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x + 2 y) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ durch $2 x + 2 y - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x + 2 y - 1) = 1 - 2 y$ durch $2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 2 y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x + 2 y - 1)}{2 x + 2 y - 1} = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x + 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{2 x + 2 y - 1}$