Analysis Beispiele

$\sin (x^{2} y^{2}) = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Schritt 2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

Schritt 2.8.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ um.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ durch $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) = 1 - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ durch $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ .

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' \cos (x^{2} y^{2})}{y \cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x^{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (x^{2} y^{2})}{\cos (x^{2} y^{2})} = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.2.4.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Separiere Brüche.

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (x^{2} y^{2})}$ nach $\sec (x^{2} y^{2})$ um.

$y' = \frac{1}{2 x^{2} y} \sec (x^{2} y^{2}) + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{2} y}$ und $\sec (x^{2} y^{2})$ .

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{2 (- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}))}{2 (x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.5.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{y (- y x \cos (x^{2} y^{2}))}{y (x^{2} \cos (x^{2} y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y x \cos (x^{2} y^{2})}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- y x \cos (x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x^{2} \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cos (x^{2} y^{2})$ heraus.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{x (- y \cos (x^{2} y^{2}))}{x (x \cos (x^{2} y^{2}))}$

Schritt 5.3.3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x^{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y \cos (x^{2} y^{2})}{x \cos (x^{2} y^{2})}$

Schritt 5.3.3.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.3.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y} - \frac{y}{x}$